Lineer sistem analizi

Soru

a)             Periyodu T olan bir kare dalganın farklı aralıklar için fourier serisi katsayılarını (a_k) ve x(t) değerlerini matlab yardımıyla hesaplayınız .

b)             (t-a_k) ve (t-x(t)) grafiklerini matlab yardımıyla çizdiriniz.

Cevap )

a)

x(t)              =      1   ;    -T/4<t

                  -1   ;     T/4<3T/4

Grafik – 1 deki gibi bir T=4sn olan çift simetrik bir kare dalgayı inceleyerek a_k katsayılarını ve istenilen aralıklardaki x(t) değerleri hesaplanacaktır.     
                                     

                                                                                           Grafik -1 (x(t) kare dalgası)

ü      

k=-4:1:5;                                %istedigimiz sayida a_k dizisinin nerden başlayıp nereye gideceği belirtilir.

T=4;                                             % x(t) sinyalinin periyodunu 4 sn olarak aldım.

syms t;

                                                     %a_k dizisinin formulünü yazarak fourier katsayılarını hesaplatılması

a=(1/T)*(int(1*exp(-j.*k*(2*pi/T)*t),t,-T/4,T/4)+int(-1*exp(-j.*k*(2*pi/T)*t),t,T/4,3*T/4)); 

                                                     %dizi sym formatlı olduğundan dizinin elemanlarını double şeklinde kullanamıyordum.

                                                     %Diziyi double formatına çevirdim.

a_k=double(a);

a_k                                               %istediğimiz aralıktaki fourier katsayılarının değerlerini ekrana yazdırılması

ü       -4≤k≤5 aralığında a_k değerlerini bulduran Matlab Kodu:                                                   

ü       -4≤k≤5 aralığında x(t) yi hesaplayan Matlab Kodu:                                                   

x=0;                                                         % toplama işlemi yapabilmek için x  sıfırdan başlatılır.

m=length(k);                                         % k nın boyutunu hesaplayan kod

for n=1:1:m;                                           % k nın boyutu kadar dönecek olan for döngüsü

x=x+(a_k(n)*exp(j*n*2*pi/T*t));        % x(t) yi hesaplayan formül

end

x                                                               % x(t) ekrana yazdırılır

ü     

-4≤k≤5 aralığında yazılan Matlab kodu sonrası Matlab’ın ekranında a_k ve  x(t) değerlerinin  sonuçları Şekil -1 deki gibidir. (x(t) değerleri ekrana sığmadığı için tam gözükmüyor.)

                                      Şekil – 1 (10 tane katsayı: -4≤k≤5)

ü     

-14≤k≤15 aralığında yazılan Matlab kodu sonrası Matlab’ın ekranında a_k ve  x(t) değerlerinin  sonuçları Şekil - 2 deki gibidir.

                                 Şekil – 2  (30 tane katsayı: -14≤k≤15)

ü     

-24≤k≤25 aralığında yazılan Matlab kodu sonrası Matlab’ın ekranında a_k ve  x(t) değerlerinin  sonuçları Şekil - 3 deki gibidir.

Şekil – 3  (50 tane katsayı: -24≤k≤25)

Cevap 2)

b)

ü     

Yazdığım Matlab kodlarına a_k nın değerlerini çizdirmek için ise şu kod eklenir ve Grafik – 2.1 deki şekil elde edilir.

stem(k,a_k,'fill')   

xlabel('k');

ylabel('a_k');

title('k=-4:5');

                                                                                                                                Grafik – 2.1 (a_k ların -4≤k≤5 aralığındaki değerleri)

ü     

Yazdığım Matlab kodlarına x(t) yi çizdirmek için ise şu kod eklenir ve Grafik – 2.2 deki şekil elde edilir.

plot(t,x)

xlabel('t');

ylabel('x(t)');

title('k=-4:5');

                                                                         Grafik – 2.2 (-4≤k≤5aralığında oluşan x(t) grafiği)

ü     



-14≤k≤15 aralığında  a_k ve  x(t) şekilleri Grafik – 3.1 ve Grafik – 3.2 deki gibidir.

                          Grafik – 3.1                                                                                         Grafik – 3.2

(a_k ların -14≤k≤15 aralığındaki değerleri)                             (-14≤k≤15aralığında oluşan x(t) grafiği)

ü     



-24≤k≤25 aralığında  a_k ve  x(t) şekilleri Grafik – 4.1 ve Grafik – 4.2 deki gibidir.

                     Grafik –4.1                                                                                           Grafik – 4.2

(a_k ların -24≤k≤25 aralığındaki değerleri)                             (-24≤k≤25aralığında oluşan x(t) grafiği)

Yorum:

Ø       x(t) sinyalini sürekli, periyodik ve çift simetrik aldığım için a_k değerlerim de çift periyodik ve reel çıktı. Ve k nın çift olduğu değerlerde a_k değerleri sıfır çıktı.

a-k= ak ; k = (1,3,5…)

ak= 0    ; k = (0,2,4…)

Ø       k aralığını 10 dan 30 sonra da 50 ye arttırdığımız zaman ise grafiklerden de anlaşılacağı gibi a_k değerleri gitgide sıfıra yaklaşmaktadır.

Ø       x(t) sinyalimiz sürekli, periyodik ve çift simetrik bir kare dalga olduğu için seçtiğimiz k aralıklarındaki bulduğumuz x(t) değerleri kare dalgaya benzer bir şekil olması gerekiyordu. Aralığı arttırdıkça sinyalimizin şekli ilk tanımladığımız kare dalgaya benzer bir hal almaya başladı.

Ø       Eğer x(t) sinyalimizi tek simetrik seçseydik a_k değerlerimiz imajiner çıkacaktı. Fakat bu bir şeyi değiştirmeyecekti. Aralığı sonsuza ne kadar yaklaştırırsak x(t) sinyalimiz o kadar iyi çıkacaktır.

Ø       Eğer x(t) sinyalimizin simetrisi olasaydı a_k değerlerimiz kompleks çıkacaktı. Ve yine aralık arttıkça kusursuz bir x(t) elde edecektik.

3.  Soru:

x(t )fonksiyonu reel ise ak katsayıları ne olur? İspatlayınız.

Cevap 3)             

x(t) fonksiyonunun reel olduğunu kabul edelim. Öyleyse x(t) fonksiyonu, kendisinin kompleks eşleniğine eşit olacaktır.

xt=x*(t)

xt=k=-∞∞ake-jkω0t

Fourier serileri gösterimini belirten denklemin her iki tarafının da konjugesini alırsak;

xt=x*t=k=-∞∞ak*e-jkω0t

Denklemini elde ederiz. k yerine –k yazarsak eğer;

xt=k=-∞∞a-k*ejkω0t=k=-∞∞akejkω0t

a-k*=ak

ak*=a-k

Bu yüzden aşağıdaki eşitlik yazılabilir;

a1 =a-1 ; a2 =a-2 ; a3 =a-3 ….

ak değerleri bu durumda çift fonksiyon olur.